Question

设A、B、C为三角形的三个内角,求证sinA／2×sinB／2×sinC／2≤1/8

Answer 1

三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,半周长为p（=(a+b+c)/2),面积为S:
r=4R*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)
r=S/p,R=abc/(4S),S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
带入这些公式,
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
=r/(4R)
=S^2/pabc
=(p-a)(p-b)(p-c)/(abc)
=1/8*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)/abc
(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)=a+b+c
如果分母abc为定值,a+b+c有最小值,当a+b+c确定以后,(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)有最大值.
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)