为什么R(A+B)<=R(A)+R(B)啊
证明：
设，A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组；
β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组。
那么，A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表示；
B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表示；
于是，A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表示。
因此，A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)。
R(A+B)<=R(A)+R(B)是矩阵的秩的重要推论。
扩展资料：
矩阵的秩
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵分成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
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证明方法一：
设 【αi】(i=1,2,...,r)为A的极大线性无关组，有r个向量；
【βj】(j=1,2,...,t)为B的极大线性无关组，有t个向量。
由极大线性无关组的性质可知，
【αi】与A等价，【βj】与B等价。
且R（A）=R（αi）=r，R（B）=R（βj）=t。
现在有矩阵（A，B），其秩为矩阵的极大线性无关组的向量个数。
则：
（1）若【αi】与【βj】线性无关，（A,B）的极大线性无关组为【αi,βj】，R（A,B）=r+t。
（2）若【αi】也【βj】线性相关，则【αi,βj】的向量数肯定小于r+t，即R（A,B）≤r+t=R(A)+R(B)
所以：
R(A，B)<=R(A)+R(B) 即R(A+B)<=R(A)+R(B)
证明方法二：（高等教育出版社《工程数学线性代数-第六版》）
扩展资料：
要解一个方阵 组成的线性代数方程，如果矩阵满秩，方程才有唯一解。即：线性代数方程组有唯一解的条件是：矩阵满秩。否则，方程就无解。
线性系统有一个矩阵，叫能控性矩阵。如果这个矩阵是满秩的，系统的状态就完全能控制；如果不满秩，系统的状态就不完全能控制。
如果所有的向量都没有线性相关的关系，问题就有解；只要有两个向量或有一些向量有线性相关的关系，问题就解决不了。
参考资料：
因为A+B的列向量可以由向量组{a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}线性表示，而{a1,a2,...,an}可以由向量组{a1,a2,...,ap}线性表示、{b1,b2,...,bn}可以由向量组{b1,b2,...,bq}线性表示。 因此，A+B的列向量可以由向量组{a1,a2,...,ap,b1,b2,...,bq}线性表示。
（1）若αi与βj线性无关，（A,B）的极大线性无关组为αi,βj，R（A,B）=r+t。
（2）若αi也βj线性相关，则αi,βj的向量数肯定小于r+t，即R（A,B）≤r+t=R(A)+R(B)
因此，A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)。
扩展资料
相关性质：
1、转置后秩不变
2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
3、r(kA)=r(A),k不等于0
4、r(A)=0 <=> A=0
5、r(AB)<=min(r(A),r(B))
6、r(A)+r(B)-n<=r(AB)
7、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
8、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
于是R（A+B）<=R(A+B,B)=R(A,B)<=R（A)+R(B)
简单计算一下即可，答案如图所示
