Question

已知a大于0,b大于0,且a+b=1, 求证(a+a分之一1)(b+b分之一1)大于等于4分之25

Answer 1

解：∵a＞0 b＞0 a+b=1 ∴2√ab≤a+b=1 (均值不等式定理）∴ab≤1/4 (a＋1/a)(b＋1/b)=ab＋1/(ab)＋2 另ab=x, 则原式f(x)=x+1/x+2 在定义域内f(x)'=1-1/x^2＜0
∴原式≥f(1/4)=25/4

Answer 2

(a＋1/a)(b＋1/b)=ab＋1/(ab)＋2。设f(x)=x＋1/x，则f(x)在区间(0，1)上递减(用单调性定义证明)，而1=a＋b≥2√(ab)，即0<ab≤1/4，所以ab＋1/(ab)的最小值是当ab=1/4时取得，则(a＋1/a)(b＋1/b)≥2＋(1/4)＋4=25/4