Question

一个定理

Answer 1

分类: 教育/科学 >> 科学技术
问题描述:

设x的n次多项式f[x]=a[n]x^n+a[n-1]x^[n-1]+......+a[1]x+a[0],a[n]不等于0,n为自然数，当x=b时，称f[b]=a[n]b^n+a[n-1]b^[n-1]+......+a[1]b+a[0]为多项式f[x]在x=b时的值,若f[b]=0，称x=b为多项式f[x]的根。

因式定理：若x=b是多项式f[x]的根，则x-b是f[x]的一个因式；反之，若x-b是f[x]的一个因式，则x=b是f[x]的根

注：以上所写的a[n]以及类似的写法，手写体为把n写在a的右下角，在此说清，以防网友不识。

以上内容特别是因式定理多有不解，望高手指教。[最好举例说明] 谢谢！

解析:

这是因式分解的唯一性的证明。首先要明确：形如这样的式子是都可以进行因式分解得到形如（x-a）（x-b）（x-c）.....的式子。

充分性证明如下（反证法）：假设（x-b）不是f（x）的一个因式，那么设f（x）=∏(x-b[i])(i=1,2,3,4,5....n){因为f(x)是n次的}，由假设得b[i]≠b,则x-b[i]≠x-b,即x-b[i]≠0，所以f（x）≠0，与原命题中x=b为f（x）=0的根矛盾。

必要性：∵（x-b）是f（x）的一个因式，∴x=b时f（x）=0，从而x=b是f（x）=0的一个根。