Question

微积分 变上限积分函数

d／dx ∫(a,x)f（t）dt
我明白要把x当成相对于t的常数，但是现在这个函数是关于x的函数，凭什么求导时就把
x当成常数呢？当题目麻烦时，也就是说当被积函数比较抽象时，似乎很容易晕啊！
你比如说这样一道题吧：设f（x）连续，则d／dx∫（0，x）tf（x∧2-t∧2)dt
令（x∧2-t∧2）=U，则t=（x∧2-U）的根号，则左右求导，怎么求啊？左边对t求导，右边呢，对x吗？到底对谁啊？还有U是x的函数还是t的函数，还是两者兼是呢？……高手帮帮忙啊！
我主要问的不是怎么解答这题，而是对于t、x、u的求导分不清关系！

Answer 1

一个定积分一般有被积函数和积分上下限组成，
被积函数一般是由f(x)dx来表示，x作积分变量，要位于积分上下限区域内，这里变上限积分函数由于积分上限中有x,为了与之区分，积分变量用t来表达，否则就难以搞清楚x到底是积分上限还是积分变量，x虽然在这里是变量，但相对于t来说可以理解为常量，设上限表达式为f(x),下限为常数a那么t属于[a,f(x)],如果t还用x表示,那么x属于[a,f(x)],意思会不明确。所以，关于上面的题可以这样解：1，先把该代入的都带进去，就是说把所有的t都换成x,2然后就变成对积分上下限求导了，为1，显然结果为xf(0).不用再找个中间变量了。

Answer 2

楼主问题过于复杂 所以我就对其中的一些进行个人总结吧。
首先，对于d／dx ∫(a,x)f（t）dt 给楼主一个建议：先积分 后微分
对于第二问题： 做变换的重要一部是 积分因子的变换 例如t=（x∧2-U）的根号（此处未考察计算正确性 姑且假设楼主计算正确） 要换的话 应该是将其形式化为dt=g(.)dx 然后用g(.)dx代替dt计算 当然 积分限也要相应变换

Answer 3

d／dx∫（0，x）tf（x∧2-t∧2)dt
x∧2-t∧2=U则t=（x∧2-U）的根号
你这个式子完全把人弄糊涂了啊。
你用画图手写然后贴个图出来，大概的看看也行。

追问

http://zhidao.baidu.com/question/184744081.html?an=0&si=6
麻烦打开这个网址，上面的百度网友问的也是这一题，只是回答者好像把答案写错了！

追答

解答如图，但是不知道我这么解法你能否明白，因为那些数学符号我实在打不出来。不好意思