Question

已知a,b,c,d为正实数，求证：下列三个不等式a+b<c+d，(a+b)(c+d)<ab+cd，(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个...

已知a,b,c,d为正实数，求证：下列三个不等式a+b<c+d，(a+b)(c+d)<ab+cd，(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确

Answer 1

若a+b<c+d成立，A^2+B^2+2AB=（a+b)（a+b)<（a+b)(c+d)<ab+cd
化简：A^2+B^2<CD-AB
(C+D)CD<(a+b)cd<ab(c+d),CD-AB<0
得：A^2+B^2<CD-AB<0
矛盾，故原命题得证

Answer 2

设①②③都成立
由①②得
(a+b)^2<ab+cd ④
由③得(a+b)cd<a+b/2)^2*(c+d)
因a+b>0 4cd<(a+b)(c+d)
②得4cd<ab+cd cd<ab/3
④得（a+b)^2<4ab/3 a^2+b^2<-2ab/3 矛盾
∴①②③中至少有一个不正确

Answer 3

做此类证明题应根据结论用反证法来证明，这类题都有一定得特点，结论中往往含有一些标志性的词，如：不大于，大于，至少有一个，小于，不小于。
就目前这个题： 先假设命题结论不成立
然后推出与已知条件相矛盾
最后在说明假设不成立，原命题成立即可。
具体证明方法如下：
假设这几个不等式都成立
∵a+b<c+d
（a+b)（a+b)<（a+b)(c+d)<ab+cd
a^2+b^2<cd-ab

(c+d)cd<(a+b)cd<ab(c+d),
即cd-ab<0

即a^2+b^2<cd-ab<0

因为a^2+b^2＞0与a^2+b^2<cd-ab<0相矛盾
∴假设不成立，原命题得证

Answer 4

反证法，由后两式，(a+b)[(a+b)(c+d)－ab]<(a+b)cd<ab(c+d)，
即(a+b)[(a+b)(c+d)－ab]<ab(c+d)，(a+b)^2*(c+d)－ab(a+b)<ab(c+d),
移项化为(a^2+ab+b^2)(c+d)<ab(a+b)<ab(c+d),
推出a^2+ab+b^2<ab，矛盾！