Question

如图 ,ad be cf 是 abc的三条高 求证ad be cf相交于一点

Answer 1

证明：
方法1：
设高AD,BE相交于点H,连接CH并延长,交AB于F ,连接EF.
图中标注：∠ACD＝∠1 ,∠FEH＝∠2 ,∠ABF＝∠3
∵∠HEC＝∠CFH＝90°
∴C、F、H、E四点共圆
∴∠1＝∠2
∵∠ADB＝∠AEB＝90°
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠3
∴C、B、F、E四点共圆
∴∠CFB＝∠CEB＝90°
∴CF⊥AB 即CF为AB边上的高.
即三角形的三条高交于一点.
方法2:
设三角形ABC,CF垂直于AB,BE垂直于AC,BE交AC于H,延长AH交BC于D,现证明AD垂直于BC
因为CF垂直于AB,
BC^2=CF^2+BF^2,AC^2=FC^2+AF^2
两者相减,
得BC^2-AC^2=BF^2-AF^2
同理,BH^2-HA^2=BF^2-AF^2
所以BC^2-AC^2= BH^2-HA^2（1）
与上述推理一样, BC^2-AB^2= CH^2-HA^2（2）
（1）-（2）,得AB^2-AC^2=BH^2-CH^2
此时,过A点作BC边的高AI,过H点作BC的垂线交其于J
同开始的推理一样,AB^2-AC^2=BI^2-CI^2
BH^2-CH^2=BJ^2-CJ^2
所以BI^2-CI^2=BJ^2-CJ^2
即I、J点重合
所以AI,HJ是同一条直线
所以AH在BC边的高AI上,AD垂直于BC
所以三角形三边的高交于一点H