Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

详细解释

Answer 1

将f(x)求导得到f'(x)=e^x-1-2ax
所以当a<=0f'(x)=e^x-1-2ax
时那么有f'(x)=e^x-1-2ax>0是恒成立的所以f(x)是一个增函数那么f(x)最小值是f(0),f(0)>=0即可，显然f(0)=0,所以a<=0成立
a>0时你可以先画e^x-1=2ax,先把左边和右边分开画成2个图像，记为y1=e^x-1,y2=2ax,
这里我不会弄图像，你自己画下。我解释详细点哈
其中看y2的斜率，由于y1图像总是在y2的上面那么显然f'(x)>=0恒成立，这个无疑问吧，那么由于y1在x=0时导数为1，所以呢，2a<=1即可，当2a>1，那么y1,y2有2个交点。一个是0，另外一个是求不出来的，（呵呵，你们老师也是求不出来的，）不过没关系的
你看着图像，现在有两个交点了，一个是0设另外一个是x1，那么在【0，x1]上y2高于y1，所以f'(x）小于0，函数单调递减，然后你在看f(0)=0是恒成立的，所以这就说明在【0，x1]上f(x)<f(0)=0,和题意不合，所以不成立，这样综合得到a属于(负无穷，1/2]

Answer 2

a>=1/2
利用导数可求出。