Question

泰勒公式f(x)=-2x/(1- x&;

Answer 1

f'(x)=-2x/(1-x²)

f''(x)=[-2(1-x²)-(-2x)(-2x)]/(1-x²)²

=-2(1+x²)/(1-x²)²

f(3) (x)

=-2[2x(1-x²)²-2(1-x²)(-2x)(1+x²)]/(1-x²)^4

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项。

另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。