Question

如图,直角梯形ABCD中,AB平行CD,∠D=90度，AB=AC，AE垂直于AC，AE=AD连接BE，交AC于F

如图,直角梯形ABCD中,AB平行CD,∠D=90度，AB=AC，AE垂直于AC，AE=AD连接BE，交AC于F
1、求证：BF=EF
2、取BC的中点M，连接MF，问：线段MF与线段BD之间的数量关系

Answer 1

1、
2、连接CE，因为AE垂直于AC，所以,∠CAE=90度；又因为直角梯形ABCD中,AB平行CD,∠D=90度，所以,∠BAD=90度；又因为AB=AC，AE=AD，所以三角形BAD全等于三角形CAE。所以线段BD=线段CE。因为点M，F均为中点，所以线段MF为三角形CBE的中位线，所以MF＝1/2CE，所以MF＝1/2BD。

追问

那么第一题呢？根本不对吧，汗！！

Answer 2

第一题，过B作AC垂线，垂足为H，过C作AB垂线，垂足为I，
有：BH＝CI（等腰△腰上的高相等）＝AD（平等线距离处处相等）＝AE
△BHF相似于△EAF，有BF/EF＝BH/AE＝1
BF＝EF

Answer 3

过B点作BG⊥AC于G，
∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC
∵∠BGA=∠ADC=90°，AB=AC
∴△ABG≌△CAD，
由此得BG=AD，又AD=AE，
∴BG=AE，
又∵∠BGA=∠EAG=90°，∠BFG=∠AFE
可得△FBG≌△FEA，
∴BF=EF．

MF=1/2BD，连接CE，可知MF是△BCE的中位线，
∴MF=1/2CE
∵AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，
∴△CAE≌△BAD
∴CE=BD
∴MF=1/2CE=1/2BD．

Answer 4

第一题，过B作AC垂线，垂足为H，过C作AB垂线，垂足为I，
有：BH＝CI（等腰△腰上的高相等）＝AD（平等线距离处处相等）＝AE
△BHF相似于△EAF，有BF/EF＝BH/AE＝1
BF＝EF