泰勒公式
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泰勒公式是什么
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
简介
数学中， 泰勒公式是一个用 函数在某 点的信息描述其附近取值的 公式。如果函数足够 光滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值的相应倍数作为 系数构建一个 多项式来近似函数在这一点的 邻域中的值。带拉格朗日余项的泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于 英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
公式定义
泰勒公式(Taylor's formula)
形式1:带Peano余项的Taylor公式：
若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ)内任意一点x(δ>0)，成立下式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
(可以反复使用L'Hospital法则来推导)
形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：
若 函数f(x)在闭区间[a，b]上有n阶连续 导数，在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，
Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间，是依赖于x的量。
(注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。)
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函数的 Maclaurin展开指上面Taylor公式中x0取0的情况，即是Taylor公式的特殊形式，反过来通过平移和换元， Maclaurin展开式和上面的展开式是等价的。
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等
