Question

lim sinx^x(x趋近于0+)求极限

Answer 1

直接求比较困难，考查其对数的极限。
设辅助函数g(x) = ln( (sin x)^x ) = x ln (sin x) = ln (sin x) / (1/x)
当x -> 0+时，这是∞/∞型不定式，连续使用罗比达法则，并利用sin x和x在x->0时为等价无穷小，得到

lim g(x) = lim ln(sin x) / (1/x) = lim cot(x) / (-1/x^2) = lim (-csc(x)^2) / (2/x^3) = -lim x^3 / (2( sin(x))^2)
= 0

从而原极限为e^0 = 1。