Question

设函数f(x)=e^x-x (1) 求函数f(x)的单调区间 (2) 证明 当x属于R时，e^x>=x+1

Answer 1

(1)f(x)=e^x-x，f′(x)=e^x-1,
由f′(x)=e^x-1>0得x>0,
所以单调增区间为(0,+∞),
由f′(x)=e^x-1<0得x<0,
所以单调减区间为(-∞,0);
(2)设g(x)=e^x-x-1,
则g′(x)=e^x-1,
由g′(x)=e^x-1>0得x>0,
所以单调增区间为(0,+∞),
由g′(x)=e^x-1<0得x<0,
所以单调减区间为(-∞,0),
所以g(x)≥g(0)=0,
即e^x≥x+1.

Answer 2

(1) 求函数单调区间一般用求导法，原函数的导函数为e^x-1，因为e^x是指数函数，所以当x属于（负无穷大，0）时，e^x小于1，e^x-1（导数）就小于0，所以函数在区间（负无穷大，0）内单调减，同理可得函数在区间（0，正无穷大）单调增。
(2)把原式e^x>=x+1 变形为e^x-x>=1 ，所以左边就是函数f(x)，因为e^x-1（函数导数）当x=0时导数值为0，而且当x小于0是函数单调减，当x大于0是函数单调增，所以函数在x=0时取得最小值（极小值），最小值f(0)=1，所以函数f(x)>=f(0)，即e^x-x>=1 ，所以当x属于R时，e^x>=x+1 。