Question

数列数列问题~~~(最好是8点之前)

是理科的,应该不难,但是我是学文的,所以....
中括号里的是角标.. ^x就是x次幂~~
拜托了!~ 还会有加分!!

曲线C: y=e^x在P(1,e)的切线交x轴于点Q[1]，过Q[1]作垂直x轴的直线交曲线C于P[1](x[1],y[1])，曲线C在P[1]的切线交x轴于Q[2],过Q[2]作垂直x轴的直线交曲线C于P[2](x2,y2),...
如此得到一系列的点P[1](x[1],y[1]),P[2](x[2],y[2]),...,P[n](x[n],y[n])
(1)求出x[n] y[n]表达式
(2)设O为坐标原点，求|OP[1]|^2+|OP[2]|^2+...+|OP[n]|^2

(原谅偶又贴一次...)
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Answer 1

(1).
需要知道 e^x 的导数 = e^x
P 点切线的斜率是： e,
方程是：y - e = e * (x - 1)
y = ex,
则 x1 = 0 , y1 = e^x1 = 1

假设已知 x(n), y(n) = e^x(n)
这点的切线的斜率是：e^x(n),
方程是：y - y(n) = e^x(n) * [x - x(n)]
当 y = 0 时，x = x(n) - 1 , 这就是与x轴的交点，并且是第n+1个点，x(n+1), 于是，y(n+1) = e^x(n+1)

所以，
x1 = 0 , x2 = -1, x3 = -2 , .... x(n) = 1-n
y1 = 1 , y2 = 1/e, y3 = e^(-2) , .... y(n) = e^(1-n)

(2). |OP[k]|^2 = x(k)^2 + y(k)^2 = (k-1)^2 + e^(2-k)
|OP[1]|^2+|OP[2]|^2+...+|OP[n]|^2 =
1^2 + 2^2 + 3^2 ... + (n-1)^2 + 1 + 1/e^2 + 1/e^4 .... 1/e^(2n-2) =
(n-1)(2n-1)n/6 + [1 - 1/e^(2n)]/[1 - e^(-2)]

前面用到了平方和的公式：1^2 + 2^2 + 3^2 ..... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
后面是等比数列求和。