Question

已知sina+sinβ=1 求cos(a-β)范围

如题。
尽量20分钟内解决。在线等，谢谢。
我的问题似乎有点多哦，不好意思希望大家尽量解释一下。
十分感谢 哈!
我要先出去下，明天再看吧，
十分感谢大家啊！

Answer 1

sina+sinβ=1
(sina+sinβ)^2=1
(sina)^2+(sinβ)^2+2sinasinβ≥4sinasinβ
所以sinasinβ≤1/4
(cosa+cosβ)^2=(cosa)^2+(cosβ)^2+2cosacosβ≤2[(cosa)^2+(cosβ)^2]
=2[2-(sina)^2-(sinβ)^2]=2[2-(sina+sinβ)^2+2sinasinβ]
=2(1+2sinasinβ)≤2(1+1/2)=3
所以0≤(cosa)^2+(cosβ)^2+2cosacosβ≤3 (1)
由(sina)^2+(sinβ)^2+2sinasinβ=1 (2)
(1)+(2)得 1≤2+2cos(a-β)≤4
-1/2≤cos(a-β)≤1

Answer 2

sinα+sinβ=1 sinα+sinβ=sin[(α+β)/2+(α-β)/2]+sin[(α+β)/2-(α-β)/2]=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
=1
cos[(α-β)/2]=1/[2sin(α+β)/2]
cos(α-β)=2[cos(α-β)/2]^2-1
cos(α-β)=2*/[2sin(α+β)/2]^2-1=1/[2[sin(α+β)/2]^2]-1=1/[1-cos(α+β)]-1
-1≤cos(α+β)≤1
-1<cos(α-β)≤-1/2

追问

从倒数第二行开始看不懂了，之前都看得懂。
为什么-1≤cos(α+β)≤1呢?
谢谢

追答

任意a，-1≤cosa≤1,
所以-1≤cos(α+β)<1
(α+β)=π,cos(α+β)=-1,sinα+sinβ=1有解
(α+β)<2π,sinα+sinβ=1有解

追问

看不懂....

追答

(α+β)=π,cos(α+β)=-1,sinα+sinβ=1有解
sinα+sinβ=2sinα=1=2sinβ α=π/6,β=5π/6
α+β=2π-π/n<2π，cos(α+β)<1
sinα+sinβ=1=sinβ+sin(2π-π/n-β)=1有解，
-1≤cos(α+β)<1成立

追问

第三行α+β=2π-π/n<2π，cos(α+β)<1
这个是什么意思?那个n是什么？
还有之后几行那个2π-π/n-β是(2π-π)/(n-β)还是(2π-π/n)-β还是别的什么，写除式的时候一些必要的括号打一下吧。
谢谢。

追答

α+β=2π-(π/n)<2π，cos(α+β)<1
n是自然数，π/n表示很接近0的量,如n=180 α+β=350度
sinα+sinβ=1=sinβ+sin[2π-(π/n)-β]=1有解

Answer 3

【1】可设x=cos(a-b).
2x=2cos(a-b)=2(cosacosb+sinasinb)=2cosacosb+2sinasinb.
又sina+sinb=1.两边平方可得：
1=sin²a+sin²b+2sinasinb.
∴2sinasinb=cos²a+cos²b-1.
∴2x=2cosacosb+cos²a+cos²b-1=(cosa+cosb) ²-1.
∴2x+1=(cosa+cosb) ²≥0.
∴x≥-1/2。
又显然当a=b=30º时，sina+sinb=1.cos(a-b)=1.
∴-1/2≤cos(a-b) ≤1.

追问

从倒数第三行开始看不懂了...
虽然(cosa+cosb) ²≥0，但是cosa+cosb也应有取值范围的吧
x≥-1/2不代表之后到1的值都一定能取到...
望再解释下，谢谢。

追答

【1】
可设cosa+cosb=0,结合sina+sinb=1.
两式平方后相加，可得：
2+2cos(a-b)=1. ∴此时cos(a-b)=-1/2.
∴cosa+cosb=0是可行的。
【2】
Sina+sinb=1.平方可得：1=sin²a+sin²b+2sinasinb
∵sin²a+sin²b≥2sinasinb.
∴1≥4sinasinb.
∴2sinasinb≤1/2.
∴2x=2cosacosb+2sinasinb≤2cosacosb+(1/2)
∴2x-(1/2) ≤2cosacosb≤cos²a+cos²b=2-(sin²a+sin²b)
=2-[1-2sinasinb]=2sinasinb+1≤1+(1/2)
∴2x-(1/2) ≤1+(1/2).
∴x≤1.