Question

18只兔子装进5个笼子，每个笼子数量不能相等，有几种装法？

最好有解题思路或者步骤。别用笨办法穷举。

Answer 1

这是一个组合数学问题，可以使用排列组合的方法解决。

首先考虑每个笼子都装有兔子的情况，因为每个笼子数量不能相等，所以最多只能有一个笼子装2只兔子，其余笼子必须装3只或更多兔子。因此，我们可以列出以下的情况：

- 1个笼子装2只，其余4个笼子各装3只：$C_5^1 \times C_{18}^2 \times C_{16}^3 \times C_{13}^3 \times C_{10}^3 \approx 5,705,920$ 种装法。
- 1个笼子装2只，1个笼子装4只，其余3个笼子各装3只：$C_5^2 \times C_{18}^2 \times C_{16}^4 \times C_{12}^3 \times C_9^3 \approx 2,296,080$ 种装法。
- 1个笼子装2只，2个笼子各装4只，其余2个笼子各装3只：$C_5^3 \times C_{18}^2 \times C_{16}^4 \times C_{12}^4 \times C_8^3 \approx 489,888$ 种装法。
- 1个笼子装2只，3个笼子各装4只，1个笼子装2只：$C_5^4 \times C_{18}^2 \times C_{16}^4 \times C_{12}^4 \times C_8^2 \approx 23,760$ 种装法。

总共的装法数量为 $5,705,920+2,296,080+489,888+23,760=8,515,648$ 种。因此，18只兔子装进5个笼子，每个笼子数量不能相等，一共有 $8,515,648$ 种装法。