Question

设V是曲面z=(3-x²-y²)^(1 2)与x²+y²=2z所围成的立体，求V的体积和表面积。

Answer 1

【答案】：两曲面交线投影于xoy面：x²+y²=2；
V=∫∫dxdy∫（x²+y²/2，(3-x2-y2)^(1/2)）dz=∫∫（x²+y²/2 -(3-x2-y2)^(1/2) ）dxdy；
采用极坐标转化上式：∫（0,2π）dθ∫（0，√2）（r²/2 - (3-r²)^(1/2)）rdr=2π（2√2/3+1/3-√3）；
先求上部分面积：Z_X=-x/(3-x2-y2)^(1/2) ； Z_y=-y/(3-x2-y2)^(1/2)；
m₁=∫∫√（1+Z²_X+Z²_Y）dxdy=∫∫3/（3-x²-y²）dxdy=∫（0,2π）dθ∫（0，√2）3/（3-r²）rdr=3πln3
同理可求下部分面积：Z_X=x ； Z_y=y；
m₂=∫∫√（1+Z²_X+Z²_Y）dxdy=∫∫√（1+x²+y²）dxdy=∫（0,2π）dθ∫（0，√2）√（1+r²）rdr=2π（√3 - 1/3）
所以m=m₁+m₂=π（3ln3+2√3-2/3）