Question

一道初三题

EF是矩形ABCD的对角线，AC垂直平分线，EF与对角线AC及边AD、BC分别交于O、E、F
（1）求证：四边形AFCE是菱形
（2）如果FE=2ED，求AE：ED的值

Answer 1

主要从菱形有什么特征来考虑问题
利用三角型相似 因为EF垂直平分AC所以三角型AOE和三角型ACD相似所以
AO/AD=EO/CD 同理三角型ABC和三角形 COF相似 所以CO/BC=OF/AB
因为AO=CO AD=BC CD=AB所以EO=OF 好像有个定理是 如果一个四边形的两条对角线垂直且互平分 那么这个四边形是菱形 如果没有这个定理也没关系
利用勾股定理 还有什么三角三角形全等很多办法证明AE=AF=FC=EC
第2个问题也很简单 利用勾股定理 ，中垂线定理，三角形全等。。。办法可以知道AE=EC 从FE=2ED可以知道OE=ED 利用HL定理（已知直角 直角边 斜边就可以确定2三角型全等）∠ECD=∠OCE=∠FCO所以∠ECD=30°所以AE:ED＝2∶1
这种几何题目一般第一小题为下面的小题做铺垫 这招很有用有时可以帮你理思路
1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD‖BC
∴∠AEF=∠CFE
∵EF是AC的垂直平分线
∴AO=CO
在△AEO和△CFO中，
｛∠AEF=∠CFE，∠AOE=∠COF（对顶角相等），AO=CO
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴EO=FO
又∵EF是AC的垂直平分线
∴四边形AECF是菱形
（2）
∵四边形AEFC是菱形
∴AE=CE，∠ECO=∠FCO
∵FE=2ED，OE=OF
∴OE=ED
∴△COE≌△CDE
∴∠ECD=∠ECO=∠FCO=30°
∴CE=2DE
∴AE=2DE
∴AE∶DE=2