多元函数的偏导数存在条件是什么?
1、多元函数在某处沿某一方向不连续,则该处该方向上的偏导不存在;
2、多元函数在某处沿某一方向不光滑,则该处该方向上的偏导不存在;
3、多元函数在某处沿某一方向斜率不为∞,则该处沿该方向的偏导不存在;
偏导数存在的条件:
1、如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),则该函数全微分存在,可以证明,此时A=∂z/∂x,B=∂z/∂y,因此,全微分存在时偏导都存在的充分条件;
2、而反过来,偏导都存在,却不一定全微分存在(还要看o(ρ)是否是高阶无穷小!)举例:f(x,y)=xy/√(x²+y²),x²+y²≠00,x²+y²=0在(0,0)偏导存在,全微分不存在!
3、因此,全微分存在时偏导都存在的充分非必要条件!
求证偏导数存在要注意:
这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在,注意这时切记不能使用求导公式,以一元函数为例:这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点,在间断点x0处f'(x)无意义。
比如:fy(x,y)是在点(x,y)关于y的偏导数,应当注意,这里x是看作常数的,如果你要求(0,0)处关于y的偏导数,应该先把x固定成x=0,即先求出fy(0,y)=[4*(y^3)*e^(y^2)]/(y^2)=4*y*e^(y^2),再以y=0代入,得到fy(0,0)=4*0*1=0。
2024-10-13 广告