Question

高分跪求数学导数题详细解答！！！

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Answer 1

(1)解析：∵F(x)=e^x-x-1, 当x∈[-1,ln(4/3)],满足f(x)>a
令f’(x)=e^x-1=0==>x=0
f’’(x)=e^x>0,∴f(x)在x=0处取极小值0
∴a<0
(2)解析：当x>=0时，f(x)>=tx^2恒成立
设h(x)=f(x)-tx^2=e^x-x-1-tx^2
H’(x)=e^x-2tx-1=0==>x1=0,x2>0
H’’(x)=e^x-2t
t>0, H’’(x1)=1-2t=0==>t=1/2
∴t>1/2, H’’(x1)<0, h(x)在x1处取极大值0；0<t<1/2, H’’(x1)>0, h(x)在x1处取极小值0；
T<0, H’’(x1)>0, h(x)在x1处取极小值0；
∴满足题目要求的t∈(-∞,1/2],此时，h(x)>=0

追问

第二问 为啥要求两次导？

追答

第一次求出函数的一阶导函数，目的是要求出可能的极值点，即令h’(x)=0解此方程，其根为可能的极值点；第二次求导，是求函数的二阶导函数，目的是要判断函数h(x)在某极值点是取极大还是极小值；即将极值点带入二阶导函数，若h’’(x)>0,则h(x)在此点取极小值，若h’’(x)<0,则h(x)在此点取极大值。

Answer 2

(1)若-1≤x≤ln(4/3) 则f'(x)=e^x-1≤0
即为减函数
a-e^x+1+x<0
即a<f(x)
由于是减函数f(x)min=e^[ln(4/3)]+1+ln(4/3)=7/3+ln(4/3)
所以满足条件的a<7/3+ln(4/3)
(2) 当x≥0时 f'(x)=e^x-1≥0
即为增函数
设g(x)=f(x)-tx^2≥0
必须g'(x)=e^x-1-2tx≥0
要使g'(x)=e^x-1-2tx≥0
必须g''(x)=e^x-2t≥0
即t≤e^x/2
而对任意x≥0，e^x/2≥1/2
所以只要t≤1/2
上式恒成立