Question

【函数、导数易错题剖析】 导数易错点

Answer 1

　　函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法贯穿了高中数学课程的始终.导数概念是微积分的核心概念之一，它为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.因此，函数和导数在高考中都占有十分重要的地位.然而，同学们在学习函数和导数时，常常会出现一些模糊的认识甚至错误.本文拟对函数、导数部分常见的一些错误进行剖析，以期帮助同学们跳出误区，优化思维，有效复习.
　　一、对概念理解错误
　　例1已知函数y=f(x)的定义域是［2,3］，求函数y=f(x2－1)的定义域.
　　错解：∵函数y=f(x)的定义域是［2,3］，即x∈［2,3］,∴x2－1∈［3,8］,即y=f(x2－1)的定义域为［3,8］.
　　错因：由于复合函数的概念比较抽象，从而一部分学生对知识的理解仅仅停留在表面上，不能从定义域的概念和对应法则对自变量施加的作用来深入理解函数的概念，导致错误.在本题中，y=f(x)中的x和y=f(x2－1)中的x2－1都是对应法则f的作用对象，它们的取值范围应该相同，而函数的定义域是指自变量x的取值集合.
　　正解：∵函数y=f(x)的定义域是［2,3］，
　　∴x2－1∈［2,3］,x2∈［3,4］,x∈［－2,－3］∪［3,2］，
　　即y=f(x2－1)的定义域为［－2,－3］∪［3,2］.
　　二、忽视定义域
　　例2判断函数f(x)=(1+x)1－x1+x的奇偶性.
　　错解：∵f(x)=(1+x)1－x1+x
　　=(1－x)(1+x)，
　　∴f(－x)=(1+x)(1－x)=f(x)，
　　∴f(x)是偶函数.
　　错因：函数具备奇偶性的一个前提条件就是其定义域关于原点对称，而本题中函数f(x)的定义域显然不符合这个条件.
　　正解：由1－x1+x≥0解得－13－x2，即x2+x－6>0，
　　解得x2，又f(x)定义在(－3,3)上，故23－x2－30，从而a>0， =9－4a232.
　　错因：很多同学一看到对数，立即会想到真数大于0，误以为函数f(x)的定义域为R.
　　本题要求函数f(x)的值域为R，也就要求真数取遍所有正数，这与真数恒大于0是不一样的.
　　正解：由题意可知ax2+3x+a能取遍所有正数，则a=0或a>0， =9－4a2≥0.，
　　解得实数a的取值范围为［0,32］.
　　例5设函数f(x)的定义域为实数集R，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于直线对称.
　　错解：x=0.
　　错因：错误地运用结论“若函数f(x)满足f(a－x)=f(b+x)，则函数f(x)的图像关于直线x=a+b2对称”.上述结论研究的是函数f(x)的图像的自身对称问题，而本题中问的是两个函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像的互相对称问题.
　　正解：x=1.
　　由于y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称，
　　y=f(x)的图像向右平移1个单位得到y=f(x-1)的图像，
　　y=f(-x)的图像向右移1个单位得到y=f(-（x-1）)，即f(1-x)的图像.
　　所以y=f(x-1)与y=f(1-x)关于直线x=1对称.
　　另外，可考虑取具体函数进行检验.
　　如令f(x)=x,则y=f(x-1)=x-1,y=f(1-x)=1-x,
　　分别画出图像
　　它们关于直线x=1对称.
　　四、对解题结果缺乏再认识
　　例6已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求实数a,b的值.
　　错解：f′(x)=3x2+2ax+b，由题意可得f′(1)=0f(1)=10，
　　即3+2a+b=01+a+b+a2=10，
　　解得a=4b=－11或a=－3b=3.
　　错因：解题过程中没有注意极值存在的条件：在极值点处附近两侧的导数值应异号；同时，没有解题反思的习惯，对解题结果缺乏再认识.
　　正解：f′(x)=3x2+2ax+b，由题意可得f′(1)=0f(1)=10，
　　即3+2a+b=01+a+b+a2=10，
　　解得a=4b=－11或a=－3b=3.
　　但当a=－3b=3时，f′(x)=3x2－6x+3=3(x－1)2，易知函数f(x)在R上单调递增，在x=1处不取得极值，不合题意；
　　而当a=4b=－11时，f′(x)=(3x+11)(x－1)，此时函数f(x)在(－∞,－113)上单调递增，在(－113,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意.
　　综上，a=4b=－11.
　　（作者：汤晓燕，江苏省泰州中学)