Question

高中数学 解析几何

已知点F(a,0)(a>0),动点M、P分别在x轴、y轴上运动，满足向量PM·向量PF=0，N为动点，并且满足向量PN+向量PM=O向量
a）：求N点的轨迹方程C
b）：过F(a，0)的直线l（不与x轴垂直）
与曲线C交于A,B两点，设点K（-a,0）,向量KA与向量KB的夹角θ，求证：0< θ<π/2

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Answer 1

a)如图所示，设P点坐标为（0，y0）M点坐标为（x0,0）

向量PM·向量PF=0 → PM⊥PF

△PMF为直角三角形

y02=-x0a → x0=-y02/a

向量PN+向量PM=O向量 → PM=PN

N点坐标x=-x0=y02/a     y=2y0 → y0=y/2

x=y2/4a

整理得N点的轨迹方程C为：y2=4ax

b)设A（x1,y1）  B(x2,y2)

    直线l的方程为：y=k(x-a) →x=y/k+a

    直线方程代入N点轨迹方程C得：y2-4ay/k-4a2=0

    y1+y2=4a/k  ,   y1y2= - 4a2

    x1+x2=(y1/k+a)+(y2/k+a)=4a/k2+2a

    x1x2=(y12/4a)((y22/4a)=a2

向量KA=(x1+a , y1)    向量KB=(x2+a , y2) 

向量KA·向量KB=绝对值kA·绝对值KB·cosθ=(x1+a)(x2+a)+y1y2

(x1+a)(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2

                             =a2+4a2/k2+2a2+a2-4a2

                             =4a2/k2>0

cosθ=[(x1+a)(x2+a)+y1y2]/(绝对值kA·绝对值KB)>0

所以0< θ<π/2

 

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