Question

一道高中数列题，求解答...

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
<1>求｛an｝的通项公式
<2>记bn=an/3^n的前n项和为Tn，求Tn.

谢谢！

Answer 1

1.公差d
s3=3a2=12
a2=4
（a2）^2=（2a2-2d）*（a2+d+1）
16=(8-2d)(d+5)
(d-3)(d+4)=0
d=3
an=3n-2

2.bn=an/3^n=(3n-2)/(3^n)
Tn=1/3+4/3^2+……+(3n-5)/(3^（n-1）)+(3n-2)/(3^n)
3Tn=1+4/3+7/3^2+……+(3n-2)/(3^(n-1))
想减2Tn=1+1+1+……+1-(3n-2)/(3^n)=n-(3n-2)/(3^n)
Tn=n/2-(3n-2)/(3^n)

Answer 2

（1）、由题易得 (a1+d)²=（2a1)×（a1+2d+1)
3a1+3d=12
解得a1=1或8（舍去）（a1=8时，d=-4.不满足{an}是正项数列）
则d=3
an=1+（n-1）×3=3n-2
（2）、bn=(3n-2)/3^n 用错位相减法
Tn=1/3+4/3²+7/3³+…………+(3n-2)/3^n ①
Tn/3=1/3²+4/3³+7/（3^4）+…………+(3n-5)/3^n +（3n-2)/3^（n+1）②
①-②得 (2/3)Tn= 5/6-1/[2×3^(n-1)] -(3n-2)/3^（n+1）
Tn=5/4-1/[4×3^(n-2)] -(3n-2)/2×3^n

Answer 3

1.
设an=a1+(n-1)d,a1＞0，d＞0
Sn=na1+n(n-1)d/2
S3=3a1+3d=12,a1+d=4
(2a1)(a3+1)=(a2)^2,
(2a1)(a1+2d+1)=(a1+d)^2,
a1(d+5)=8
(4-d)(d+5)=8
d^2+d-12=0
d=3
a1=1
an=1+3(n-1)=3n-2 ;

2.
bn=an/3^n=(3n-2)/3^n=(3n-2)(1/3)^n
Tn=(1/3)^1+4(1/3)^2+7(1/3)^3+……+(3n-5)(1/3)^(n-1)+(3n-2)(1/3)^n
3Tn=(1/3)^0+4(1/3)^1+7(1/3)^2+……+(3n-5)(1/3)^(n-2)+(3n-2)(1/3)^(n-1)
两式相减：
2Tn=1+3(1/3)^1+3(1/3)^2+3(1/3)^3+……+3(1/3)^(n-1)-(3n-2)(1/3)^n
=1+(1/3)^0+(1/3)^1+(1/3)^2+……+(1/3)^(n-2)-(3n-2)(1/3)^n
=1+[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3)-(3n-2)(1/3)^n
=5/2-(3/2)(1/3)^(n-1)-(3n-2)(1/3)^n
=5/2-(9/2)(1/3)^n-(3n-2)(1/3)^n
=5/2-(3n+5/2)(1/3)^n
Tn=5/4-(3n/2+5/4)(1/3)^n

Answer 4

(1) 因为s3=a1+a2+a3=3a3=12
则a3=4
又a2^2=2a1(a3+1)=16 (1)
a1+4+a3=12 (2)
由（1）（2）得a1=1 a3=7
则公差d=3 an=3n-2
(2)Tn=1/3+4/3^2+....+(3n-5)/3^(n-1)+(3n-2)/3^n
1/3Tn=1/3^2+4/3^3+....+(3n-5)/3^n=(3n-2)/3(n+1)
两式相减 用错位相减法得
Tn=