Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意的n属于正整数有an+Sn=n (1)设bn=an-1，求证：数列｛bn｝是等比...

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意的n属于正整数有an+Sn=n
(1)设bn=an-1，求证：数列｛bn｝是等比数列；
(2)设c1=a1，且cn=an-an-1(n大于或等于2)，求｛cn｝的通项公式

Answer 1

Sn=-an+n
S(n-1)=-a(n-1)+n-1
Sn-S(n-1)=an=-an+n+a(n-1)-n+1=-a(n-1)+n-1
整理下
2an=a(n-1)+1
2(an-1)=(a(n-1)-1)
即2bn=b(n-1)
第二问累加就可以了

Answer 2

an=Sn-S(n-1)=a(n-1)-an+1
2an=a(n-1)+1
(1)bn=an-1 b(n-1)=a(n-1)-1代入上式
bn/b(n-1)=1/2
得证
（2）因bn=b1*(1/2)^(n-1)
由已知 a1=1/2 b1=a1-1=-1/2
bn=-(1/2)^n=an-1 an=1-(1/2)^n
cn=1/2^n