Question

设函数 z=1/(e^x+y+2y) 求 az/ay(1,1)？

Answer 1

首先，我们需要对 z 求关于 y 的偏导数，即 az/ay，而 x 被视为常数。
为了计算这个偏导数，我们需要使用链式法则。具体地，我们将 z 表示为三个函数的复合：
z = f(g(h(y)))
其中，h(y) = y，g(u) = e^x + u，f(v) = 1/v。然后，我们可以按照链式法则计算 az/ay：
az/ay = dz/dv * dv/du * du/dy
其中，dv/du = 1，因为 e^x + u 对 u 的导数是 1。另外，du/dy = 1，因为 u = e^x + y，而 y 对自己的导数是 1。因此，我们只需要计算 dz/dv。
根据链式法则，dz/dv = df/dv * dg/du。我们已经计算出了 dg/du = 1，所以只需要计算 df/dv。
f(v) = 1/v，因此 df/dv = -1/v^2。将 v = h(g(y)) 代入，即：
v = h(g(y)) = h(e^x + y) = e^x + y + 2y = e^x + 3y
因此，
df/dv = -1/(e^x + 3y)^2
将所有导数代入链式法则的公式中，得到：
az/ay = dz/dv * dv/du * du/dy
= df/dv * dg/du * du/dy
= (-1/(e^x + 3y)^2) * 1 * 1
= -1/(e^x + 3)^2
将 x = 1，y = 1 代入上式，得到：
az/ay(1,1) = -1/(e^1 + 3)^2
= -1/16e^2
因此，函数在点 (1,1) 的偏导数为 -1/16e^2。