Question

如何判断解析函数在复平面上是否解析？

Answer 1

（1）如果给出的函数形式是f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，且u和v的形式比较和谐，那么直接根据柯西-黎曼方程来进行判断。

（2）如果给出的函数形式是w=f(z)【表达式中只有z，没有x（即Rez）、y（即Imz）和其他自变量】，而且f(z)的形式比较和谐，那么在定义域内都可以认为f(z)是解析的。例如，若f(z)是关于z的有理函数，那么除了分母为0的点之外，在其他地方都是解析的；如果含有对数，那么还要剔除对数内的部分为0的情况。

（3）如果给出的函数形式是w=f(z,z')【其中z'是z的共轭】，而没有其他变量，而且函数的形式比较和谐，那么这个函数在复平面上处处不解析。

（4）如果给出的函数形式是这样的：

如果要求函数f(z)在z0处是否解析，就要根据u和v的表达式，结合柯西-黎曼方程判断f(z)在z0附近【不包括z0】是否可导。如果可导，进一步通过定义法判断f(z)在z0点是否可导。若两次判断都满足可导条件，则f(z)在z0处解析。