Question

高中函数题解法

已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右移动一个单位后，得到一个奇函数的图像，且f（2）＝－2，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2011）＝？ 这一类题应如何解？

Answer 1

g(x)=f(x-1)奇函数g(x)=-g(-x)
f(x-1)=-f(-x-1)=-f(x+1)所以f(x)+f(x+2)=0①
f(x+2)+f(x+4)=0②
①-②=f(x)-f(x+4)=0,f(x)=f(x+4)是周期函数
设原式＝S ,2S=f（1）＋f（2）+f(2010)+f(2011) =2f(2)=-4,S=-2

Answer 2

f(x)=f(-x)
-f(x-1)=f(-x-1);
这是根据题目条件得出的结论，然后用x-1代第一个式子得
f(x-1)=f(1-x)。所以f(1-x)=-f(-x-1) 隔两个单位函数值相反，再隔两个单位函数值又变回去了。所以f(x)以4为周期。

Answer 3

g(x)=f(x-1)奇函数。g(x)=-g(-x)，即f(x-1)=-f(-x-1)=-f(x+1),所以f(x)+f(x+2)=0
原式=f(1)+f(2)=-2