Question

高一数学正弦定理

利用正弦定理证明恒等式。
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，求证：a^2·sin2B+b^2·sin2A=2absinC

Answer 1

a^2·sin2B+b^2·sin2A
=4R^2((sinA)^2sin2B+(sinB)^2sin2A)
=8R^2sinAsinB（sinAcosB+cosBsinA）
=8R^2sinAsinBsin(A+B)
=8R^2sinAsinBsinC
2absinC
=8R^2sinAsinBsinC
所以a^2·sin2B+b^2·sin2A=2absinC

追问

能跟我再详细地解释下每步的意思，我刚学这个，不是很懂。谢谢了。

追答

再细点：
a^2·sin2B+b^2·sin2A
=(2RsinA)^2*sin2B+(2RsinB)^2*sin2A 【用正弦定理】
=4R^2((sinA)^2sin2B+(sinB)^2sin2A)
=4R^2((sinA)^2*sinBcosB+(sinB)^2*2sinAcosA) 【用2倍角的正弦公式】
=8R^2sinAsinB（sinAcosB+cosBsinA）
=8R^2sinAsinBsin(A+B) 【用两角和的正弦公式】
=8R^2sinAsinBsinC
2absinC
=8R^2sinAsinBsinC
所以a^2·sin2B+b^2·sin2A=2absinC