Question

∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx

Answer 1

我们可以从替换u=sin(X)和du=cos(X)dx开始，这将简化积分。

∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx

=∫(x-u)/[u^2+(1-u^2)^2]du(使用u=sin(X)替换)

=(x-u)/[2u^4-2u^2+1]du

现在，我们可以使用部分分数分解将这个表达式分成更简单的部分：

(x-u)/(2u^4-2u^2+1)=A/(u^2+α)+B/(u^2+β)

其中α和β是二次型2U^4-2U^2+1=0的根，可用二次公式求出。

解A和B，代替A和B，我们得到：

∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx

=(1/2)α[A/(u^2+α)+B/(u^2+β)]du

=(1/2)[A arctan(u/√α)+B arctan(u/√β)]+C

其中C是一个积分常数。

用in替换u=sin(X)并简化arctan表达式，我们得到了最后的结果：

∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx

=(1/2)[A arctan(sin(X)/√α)+B arctan(sin(X)/√β)]+C

其中A和B是部分分式分解得到的系数，α和β是二次2U^4-2U^2+1=0的根。
望采纳。