Question

设y1、y2与y3是二阶非齐次线性微分方程的三个不同的解．试问：是否可以用这三个解来表示该方程的通解?

Answer 1

【答案】：答案是不肯定的．假设y₁，y₂，y₃都是微分方程
y"+p(x)y'+Q(x)y=f(x)
的解，则y₁-y₂与y₃-y₁就是对应齐次方程的解．因此，当y₂-y₁与y₃-y₁之比不是常数时，
C₁(y₂-y₁)+C₂(y₃-y₁)+y₁
就是方程的通解．而如果y₂-y₁与y₃-y₁之比为常数时，这三个解不能表示该方程的通解．
例如，对于微分方程y"+y=1，该方程有三个不同的解y₁=1，y₂=sinx+1，y₃=cosx+1．由于y₂-y₁=sinx，y₃-y₁=cosx是它对应齐次方程的两个比不是常数的解，因此该方程的通解为
C₁(y₂-y₁)+C₂(y₃-y₁)+y₁=C₁sinx+C₂cosx+1
又如y₁=1，y₂=sinx+1，y₃=2sinx+1，它们都是原方程的解，但这三个解无法表示该方程的通解．