Question

如何证明中心极限定理？

Answer 1

用特征函数来证明。设ξi为独立同分布的随机变量，m为ξ的期望，σ为ξ的标准差。ηn=∑(ξi-m)/(σ*sqrt(n))。(从1连加到n)证明：ξ-m的特征函数为f(t)，则ηn的特征函数为 [f(t/(σ*sqrt(n)))]^n 当n足够大，t/(σ*sqrt(n))则充分接近于0，则可以在0点附近将f(t/(σ*sqrt(n)))泰勒展开。 f(t/(σ*sqrt(n)))=f(0)+f'(0)*(t/(σ*sqrt(n)))+f''(0)*t^2/(2*σ^2*n)+o(t^2/(σ^2*n)) 对于f(t)，易知f(0)=1，f'(0)=0，f''(0)=-σ^2，所以代入上式，得 f(t/(σ*sqrt(n)))=1-t^2/(2n)+o(t^2/(n*σ^2)) 然后令n→∞，有 [f(t/(σ*sqrt(n)))]^n=[ 1-t^2/(2n)+o(t^2/(n*σ^2)) ]^n→exp(-t^2/2) 即ηn的特征函数收敛于标准正态分布的特征函数，所以由逆极限定理， ηn的分布函数弱收敛于标准正态正态分布的分布函数。证完。