Question

概率论与数理统计pdf [浅谈《概率论》教学中的一些问题]

Answer 1

　　概率论是研究随机现象的数量规律性的学科。由于随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。鉴于概率论在教与学中的一些问题，本文进行了相关论述。 　　概率论教学 概率模型 知识结构
　　概率论是研究随机现象的数量规律性的学科，由于随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。如今，概率统计已被高等院校的众多专业列为一门必修的基础课。可是，对于刚刚接触这门新课的大学生来说，这是一门全新的课程，与以前学过的知识有着本质的区别。因此，学生在概率论的学习过程中容易出现畏难情绪；另一方面，教师授课也难以达到好的教学效果。
　　一、注意培养和激发学生学习该门课程的兴趣
　　兴趣是最好的老师，因此在教学中如何激发学生的兴趣是每一位教师都要面临的问题。在这一点上，概率论的教学具有得天独厚的优势，因为概率论具有很强的实际背景，而且，在概率论的发展过程中，出现过很多引人入胜的典故。因而在教学过程中要尽量避免照本宣科，可以利用这些资源来激发学生的兴趣。
　　例如，第一堂课可简单讲讲概率论的发展史，让学生了解到这门学科与生活紧密相关，还可结合学生所学专业讲讲概率论知识的用途。讲到数学期望这个概念时，可举例说明购买一张彩票的期望所得，保险公司的赢利情况等。讲到小概率事件时，可联系生活实际：尽管某些事件发生的概率很小，但一旦发生，便会被引起广泛关注，如买彩票中头等奖、发生重大交通事故（如空难）、出现特大自然灾害等，这样学生便会对小概率事件留下深刻印象，小概率事件不容忽视。
　　二、帮助学生将概率知识融入到已有的知识结构中去，做到前后知识的连贯
　　1.帮助学生找到新知识和旧知识的联系
　　新旧知识的结合点，往往是教学的重点，有时也是教学的启发点．对于实例做精辟而深刻的分析，这是促进新旧知识相互作用，使新知识“同化”在已有的知识结构中。例如，事件的关系及运算与集合的关系及运算的形式完全是一致的，只不过有不同的含义。连续型随机变量的概率密度函数这个概念，学生一般不好理解，可打个比方，与物理知识联系起来。若将区间上的概率看成“物体的质量”，区间的长度看作“物体的体积”，两者之比值正好是密度，只不过是线密度，这正好是密度函数名称的由来。因此密度函数在某点值的大小反映了随机变量落在该点附近概率的大小。而连续型随机变量落在某区间（或区域）上的概率可转化为其密度函数在该区间（或区域）上的积分，完全转化为已学过的数学问题。随机变量的概率、期望等的计算往往借助的是高等数学中的积分运算；概率分布与密度函数的关系就是积分与求导的关系。因此，概率密度反映的是分布函数累加的快慢程度。如此类的问题很多，都可以帮助学生建立起联系。这样，学生就不会感到陌生。
　　2.对于概率论中一些易于混淆的概念要帮助学生区分
　　如随机事件“相互独立”与“互不相容”，随机变量“相互独立”与“不相关”，这两组概念，学生容易混淆。而这些概念又分别在不同的章节中出现，如果教师不有意识的提出来加以区分，学生很容易出错。因此，在教学的过程中，要不停的将新知识和旧知识加以比较、区分、归类，这样往往能够取得很好的教学效果。
　　三、在教学过程中，注重培养学生“概率的思维方式”
　　概率问题与生活实际密切相连，而生活中的问题，其条件和背景千差万别，一般没有固定的法则和套路，因此解决概率问题也没有现成的模式或方案。一般首先要从实际问题抽象出概率模型，再进行求解。
　　例如，概率论中两类重要模型――古典概率模型与重复独立试验模型的讲解：古典概型的教学重点不是放在“如何计数”上，而是通过实际生活中的事例理解古典概型的特征，即试验结果的有限性和每一个结果出现的等可能性。应教会学生把一些实际问题归结为古典概型，不同问题归结为同一个概率模型的转化思想。概率中很多问题可看成分球入盒模型，下面就是一个例子：
　　5个人在第一层进入11层楼的电梯，假如每个人以相同的概率走出任一层（从第二层开始），求此5个人在不同楼层走出的概率。
　　若把楼层看成盒子，人看成球，则此题可看成5个球向10个盒子中放，且每个盒子可放多个球的分球入盒模型。类似的还有生日问题，分房子问题等。
　　也可把一些纯数学问题转化为概率模型.
　　用概率论方法证明：
　　可设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a个是不合格品，b个合格品。从中随机取出n个，n=min（a，b）。则问题可转化为n个产品中不合格品数的概率分布问题，即超几何分布。
　　独立重复试验的教学重点是正确领会“重复”与“相互独立”两个方面，不可将古典概型中的不重复抽取当作重复，更不可将非“独立”的事件当作“独立”的事件来解决。正确区分二项分布与超几何分布的背景。很多看起来千差万别的问题都可归结为独立重复试验模型及其与之有关的二项分布，问题便迎刃而解。
　　四、一些重要公式的讲解可结合实例，加深学生的印象
　　概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A，如果能找到一伴随A发生的完备事件组，而计算各个的概率与条件概率相对要容易些，这时为了计算与事件A有关的概率，可能需要使用全概率公式或Bayes公式。
　　而全概率公式与贝叶斯公式的运用以及区别，学生一般难以掌握，这时可讲解几个给人留下深刻印象的实例，可用全概率公式分析“敏感性”问题。
　　在医疗诊断中，为了诊断出现症状的患者，到底患了疾病中的哪一种，可用Bayes公式算出在症状的情况下，起因于疾病的概率，而后按各个后验概率的大小来推断患者患哪种病的可能性最大。
　　还可用贝叶斯公式来分析伊索寓言（孩子与狼）中村民对这个小孩的可信程度是如何降低的。
　　从而结合上面这样典型而又令人难忘的例子讲清全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别，学生一般较有兴趣，易留下深刻印象。
　　总之，只有在教学的过程中不断地总结经验，结合学生的特点和学习规律，调整教学方法和教学手段，才能取得更好的教学效果。�
　　参考文献：
　　[1]茆诗松等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
　　[2]杨振明.概率论[M].北京：科学出版社，1999.
　　[3]林正炎.概率统计课程改革的若干建议[J].高等数学研究，2001，4（1）.
　　[4]伍度志，汪益川，胡爱平.概率论教学方法初探.训练与科技，2009，（3）.
　　基金项目：重庆市高等教育教学改革研究项目（No.113152）资助。