Question

求函数f(x，y)=(x2+y2)2-2(x2-y2)的极值．

Answer 1

【答案】：令f_x=4x(x²+y²)-4x=0,f_y=4y(x²+y²)+4y=0,解上述联立方程组，得到驻点(0，0)、(1，0)、(-1，0).又
A=f_xx(x,y)=4(x²+y²)+8x²-4=12x²+4y²-4,
B=f_xy(x，y)=8xy，
C=f_yy(x,y)=4(x²+y²)+8y²+4=4x²+12y²+4,在点(0，0)处，AC-B²=-16＜0，故(0，0)点不是f的极值点，在点(1，0)处，AC-B²-64＞0，且A=8＞0，故f(1，0)=-1为f的极小值；在点(-1，0)处，AC-B²=64＞0，A=8＞0，故f(-1，0)=-1为f的极小值．