Question

高数题？

第一步是什么意思没看懂

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

😳问题 : ∫(0->π)  [ 1- (sinθ)^3] dθ

👉定积分定义：

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式

∑(i:1->n) f(ξi)△xi

。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分

👉要计算定积分， 一些不定积分的公式

1. ∫ du = u+C

2. ∫ u^n du = [1/(n+1)]u^(n+1)+C

3. ∫ cosu du =  sinu + C

4. ∫ sinu du = -cosu + C

👉一些不定积分的例子

『例子一』

∫  x^2  dx = (1/3)x^3 + C

『例子二』

∫ cos2x dx 

= (1/2)∫ cos2x d2x 

=(1/2)sin2x + C

『例子三』

∫ sin3x dx 

= (1/3)∫ sin3x d3x 

=-(1/3)cos3x + C

😳: 回答

∫(0->π)  [ 1- (sinθ)^3] dθ

• 分开定积分
  

=∫(0->π)  dθ -∫(0->π)   (sinθ)^3 dθ

• 利用 ∫ du = u+C

=[θ]|(0->π) -∫(0->π)   (sinθ)^3 dθ

• 代入定积分上下限
  

=π -∫(0->π)   (sinθ)^3 dθ

• 利用 dcosθ =-sinθ dθ
  

=π +∫(0->π)   (sinθ)^2 dcosθ

• 利用 1-(cosθ)^2=(sinθ)^2
  

=π +∫(0->π)   [1-(cosθ)^2] dcosθ

=π + [cosθ-(1/3)(cosθ)^3]|(0->π)

• 代入定积分上下限

=π + { [-1+(1/3)] -[1-1/3)] }

=π -4/3

😄: 结果：  ∫(0->π)  [ 1- (sinθ)^3] dθ=π -4/3