Question

为什么cos(60°+2a)=2cos²(30°+2a)？

Answer 1

利用三倍角公式cos(3a)=4cos³a-3cos a，将60°+2a拆分为3倍角的形式，得到cos(60°+2a)=cos(3(20°+2a))。将20°+2a代入三倍角公式得cos(3(20°+2a))=4cos³(20°+2a)-3cos(20°+2a)。
再利用30°+2a代替20°+2a，即cos(60°+2a)=4cos³(30°+2a)-3cos(30°+2a)。将右侧的cos³(30°+2a)拆成(1+cos(60°+2a))/2的形式，得到cos(60°+2a)=2cos²(30°+2a)。

Answer 2

这个等式可以用两角和公式来证明。
cos(60°+2a) = cos60°cos2a - sin60°sin2a
= (1/2)cos2a - (√3/2)sin2a
= (1/4)(cos²2a - sin²2a) - (√3/4)(sin22a)
= (1/4)(1 - 2sin²a) - (√3/4)(2sinacosA)
= (1/4) - (1/2)sin²a - (√3/4)sinacosA
另一方面，
cos²(30°+a) = cos30°cosA - sin30°sinA
= (√3/2)cosA - (1/2)sinA
= (√3/4)(cos²A - sin²A) - (1/4)(sin22A)
= (√3/4)(1- 2sin²A) - (1/4)(-√3 sinacosA)
= (√3/4)- (√3 / 2 ) sin² A + ( √ 3 / 4 ) sinacos A
所以，
cos(60°+ 2 a ) = 0.5 cos²(30°+ a ) + 0.25