Question

已知等差数列｛an｝满足：a3=7，a5+a7=26.｛an｝的前n项和为Sn。

求Sn及求和1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+...+1/an-1an

Answer 1

因为a5=a3+2d ,a7=a3+4d,
所以d=2.
a1=a3-2d=7-4=3,an=a1+dn=3+2n,求sn代入公式.
1/(a1a2)+1/(a2a3)+……1/(an-1an)=1/2(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+1/a3-1/a4+……+1/(an-1)-1/an)
=1/2(1/a1-1/an)=1/2(1/3-1/(3+2n))

Answer 2

{an} 为等差数列
2a6=a5+a7=26
a6=13
d=(a6-a3)/(6-3)=2
所以a1=a3-2d=3
an=a1+(n-1)d=2n+1
Sn=(a1+an)n/2=n^2+2n
裂项求和：1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+...+1/an-1an
=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+1/a3-1/a4+……+1/a(n-1)-1/an
=1/a1-1/an
=1/3-1/(2n+1)=2(n-1)/3(2n+1)

Answer 3

解：（1）设等差数列{an}，公差为d
∵a3=7，a5+a7=26
∴a1+2d=72a1+10d=26解得a1=3，d=2
∵an=a1+(n-1)d，Sn=n(a1+an)2
∴an=2n+1，Sn=n（n+2）
（2）由（1）知bn=2nan=2n（2n+1）
∴Tn=3•21+5•22+…+(2n+1)•2n
2Tn=3•22+5•23+…+（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1
两式相减可得，-Tn=6+2（22+23+…+2n）-（2n+1）•2n+1
=6+8(1-2n-1)1-2-(2n+1)•2n+1
=-2+2n+2-（2n+1）•2n+1
Tn=(2n-1)•2n+1+2

Answer 4

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3=7，a5+a7=26，
∴有a1+2d=72a1+10d=26，
解得a1=3，d=2，
∴an=3+2（n-1）=2n+1；
Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，
∴bn=1an2-1=1(2n+1)2-1=14•1n(n+1)=14•(1n-1n+1)，
∴Tn=14•(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14•(1-1n+1)=n4(n+1)，
即数列{bn}的前n项和Tn=n4(n+1)．