Question

求f(x)=1-2sin(6/π-2x)的单调增区间对称轴中心对称最小值和最小值x

Answer 1

首先，注意到函数$f(x)=1-2\sin\left(\frac{6}{\pi}-2x\right)$是关于直线$x=\frac{3}{\pi}$对称的，因为将$x$替换为$\frac{6}{\pi}-x$时，$\sin$函数中的参数$2x$和$2\left(\frac{6}{\pi}-x\right)$互为相反数，所以$\sin$函数值相反，从而整个函数值也相反。因此，可以只考虑$x\in\left[0,\frac{3}{\pi}\right]$的情况。
接下来，考虑$f(x)$的单调性。首先，$\sin x$在$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增，所以当$\frac{6}{\pi}-2x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$时，$\sin\left(\frac{6}{\pi}-2x\right)$是单调递增的。这等价于$\frac{3}{4}\pi<x<\frac{6}{\pi}-\frac{\pi}{4}$，即$x\in\left(\frac{3}{4}\pi,\frac{6}{\pi}-\frac{\pi}{4}\right)$。此时，$f(x)=1-2\sin\left(\frac{6}{\pi}-2x\right)$也是单调递增的。
另外，当$\frac{6}{\pi}-2x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$时，$\sin\left(\frac{6}{\pi}-2x\right)$是单调递减的。这等价于$x\in\left[0,\frac{3}{\pi}-\frac{\pi}{4}\right]$。此时，$f(x)=1-2\sin\left(\frac{6}{\pi}-2x\right)$也是单调递减的。
因此，$f(x)$的单调增区间为$\left(\frac{3}{4}\pi,\frac{6}{\pi}-\frac{\pi}{4}\right)$，对称轴中心为$x=\frac{3}{\pi}$。对称轴中心对称最小值为$f\left(\frac{3}{\pi}\right)=1-2\sin\left(\frac{6}{\pi}-2\cdot\frac{3}{\pi}\right)=1-2\sin\frac{\pi}{3}=\boxed{0} $，最小值点为$x=\frac{3}{\pi}$。

Answer 2

首先，要找到函数f(x)的定义域。因为sin函数的定义域是实数集，所以只需考虑6/m-2x的取值范围，即-π≤6/m-2x≤π。
解出m-2x的取值范围为：
-π≤6/m-2x≤π -πm/6+π/3≤x≤πm/6-π/3
由于需要找到单调增区间对称轴中心对称的最小值，可以先求出函数的导数：
f'(x) = 12cos(6/m-2x)
因为f'(x)仅仅包含cos函数，cos函数是一个偶函数，所以f'(x)是关于x=0对称的。
当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增；当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减。因此，可以通过求解f'(x)=0来找到函数f(x)的单调增区间的中心点。
f'(x) = 12cos(6/m-2x) = 0 cos(6/m-2x) = 0 6/m-2x = (2k+1)π/2 (k为整数) x = m/2 - kπ/6
因为要求函数的单调增区间对称轴中心对称，所以只需考虑在区间[πm/6-π/3, πm/6+π/3]内的中心点，即
x = m/2
将x = m/2代入f(x)得到最小值：
f(m/2) = 1 - 2sin(6/m-2(m/2)) = 1 - 2sin(3/m)
因为f(x)是偶函数，所以当x = πm/2时也有相同的最小值。
因此，函数f(x)的单调增区间对称轴中心对称的最小值为1-2sin(3/m)，最小值的横坐标为m/2和πm/2。