Question

解三角形题目

在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA-tanB=三分之根号三（1+tanAtanB）
（1）若c²=a²+b²-ab，求A、B、C的大小
（2）已知向量m=（sinA，cosA），n=（cosB，sinB），求|3m-2n|的取值范围。

Answer 1

在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且tanA-tanB=(√3/3)（1+tanAtanB）
（1）若c²=a²+b²-ab，求A、B、C的大小
（2）已知向量m=（sinA，cosA），n=（cosB，sinB），求|3m-2n|的取值范围。
解：tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=√3/3，故A-B=π/6.......................(1)
(1) c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，∴2cosC=1，即cosC=1/2，∴C=π/3.
∴A+B=π-π/3=2π/3...................(2)
(1)+(2)即得2A=5π/6，故A=5π/12；2B=2π/3-π/6=π/2，故B=π/4.
即A=75⁰，B=45⁰，C=60⁰.
(2) m=sinA+icosA，n=cosB+isinB；3m=3sinA+i3cosA，2n=2cosB+i2sinB；
3m-2n=(3sinA-2cosB)+i(3cosA-2sinB)
│3m-2n│=√[(3sinA-2cosB)²+(3cosA-2sinB)²]
=√[(9sin²A-12sinAcosB+4cos²B)+(9cos²A-12cosAsinB+4sin²B)]
=√[13-12(sinAcosB+cosAsinB)]=√[13-12sin(A+B)]=√[13-12sin(2π/3)]=√[13-12sin(π/3)]
=√[13-12×(√3/2)]=√(13-6√3)

Answer 2

（1）由余弦定理知：C=60°，tan(A-B)=三分之根号三.∴A=75°，B=45°
（2）m=sinA+icosA，n=cosB+isinB；3m=3sinA+i3cosA，2n=2cosB+i2sinB；
3m-2n=(3sinA-2cosB)+i(3cosA-2sinB)
│3m-2n│=√[(3sinA-2cosB)²+(3cosA-2sinB)²]
=√[(9sin²A-12sinAcosB+4cos²B)+(9cos²A-12cosAsinB+4sin²B)]
=√[13-12(sinAcosB+cosAsinB)]=√[13-12sin(A+B)]
∵在锐角三角形中，所以A+B>90°
又∵A-B=30°，所以A+B<150°即1/2<sin(A+B)<1
1<│3m-2n│<√7
第一楼的解法缺少对A+B的范围的讨论。