Question

设f(x)在区间 (-,+) 内连续,且 f[f(x)]=x 证？

Answer 1

要证明 f[f(x)] = x，可以考虑将其分成两个部分进行证明：

$f(f(x)) \leq x$，即 $f$ 的函数值的函数值不大于 $x$。
首先假设存在 $x_0$ 使得 $f(f(x_0)) > x_0$，那么对于这个 $x_0$，我们可以依次定义 $x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), \ldots$，得到一个序列 $x_0, x_1, x_2, \ldots$。

由于 $f$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，所以 $x_0$ 的任何一个邻域内都存在 $f(x_0)$ 的邻域，因此序列 $x_1, x_2, \ldots$ 中的任何一个元素都在 $(-\infty, +\infty)$ 内。

根据 $f(f(x_0)) > x_0$ 可知 $x_1 > x_0$，因此序列 $x_0, x_1, x_2, \ldots$ 是严格递增的。又因为 $x_0$ 是实数集上的一个点，因此这个序列要么无限增大，要么趋向于某个极限。

如果序列无限增大，那么对于任意 $n \in \mathbb{N}$，都有 $x_{n+1} = f(x_n) > x_n$，因此 $x_n \to +\infty$。但是这意味着 $f(x_n) \to +\infty$，因此存在一个 $N$ 使得 $f(x_N) > x_0$，这与 $x_0$ 是 $f(f(x_0))$ 的定义矛盾，因此假设不成立，即对于任意 $x$，都有 $f(f(x)) \leq x$。

$f(f(x)) \geq x$，即 $f$ 的函数值的函数值不小于 $x$。
设 $y = f(x)$，则 $f(y) = x$。由于 $f$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，因此 $f$ 的值域也是区间 $(-\infty, +\infty)$。因此存在一个 $z$，使得 $f(z) = y$。但是 $f(y) = x$，因此 $f(f(z)) = f(y) = x$，即 $f(f(x)) \geq x$。

综上所述，对于任意 $x$，都有 $f(f(x)) \leq x$ 且 $f(f(x)) \geq x$，因此 $f(f(x)) = x$。