设f(x)在区间 (-,+) 内连续,且 f[f(x)]=x 证?

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遇堂兴0B
2023-02-18 · 超过69用户采纳过TA的回答
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要证明 f[f(x)] = x,可以考虑将其分成两个部分进行证明:

$f(f(x)) \leq x$,即 $f$ 的函数值的函数值不大于 $x$。
首先假设存在 $x_0$ 使得 $f(f(x_0)) > x_0$,那么对于这个 $x_0$,我们可以依次定义 $x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), \ldots$,得到一个序列 $x_0, x_1, x_2, \ldots$。

由于 $f$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内连续,所以 $x_0$ 的任何一个邻域内都存在 $f(x_0)$ 的邻域,因此序列 $x_1, x_2, \ldots$ 中的任何一个元素都在 $(-\infty, +\infty)$ 内。

根据 $f(f(x_0)) > x_0$ 可知 $x_1 > x_0$,因此序列 $x_0, x_1, x_2, \ldots$ 是严格递增的。又因为 $x_0$ 是实数集上的一个点,因此这个序列要么无限增大,要么趋向于某个极限。

如果序列无限增大,那么对于任意 $n \in \mathbb{N}$,都有 $x_{n+1} = f(x_n) > x_n$,因此 $x_n \to +\infty$。但是这意味着 $f(x_n) \to +\infty$,因此存在一个 $N$ 使得 $f(x_N) > x_0$,这与 $x_0$ 是 $f(f(x_0))$ 的定义矛盾,因此假设不成立,即对于任意 $x$,都有 $f(f(x)) \leq x$。

$f(f(x)) \geq x$,即 $f$ 的函数值的函数值不小于 $x$。
设 $y = f(x)$,则 $f(y) = x$。由于 $f$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内连续,因此 $f$ 的值域也是区间 $(-\infty, +\infty)$。因此存在一个 $z$,使得 $f(z) = y$。但是 $f(y) = x$,因此 $f(f(z)) = f(y) = x$,即 $f(f(x)) \geq x$。

综上所述,对于任意 $x$,都有 $f(f(x)) \leq x$ 且 $f(f(x)) \geq x$,因此 $f(f(x)) = x$。
Sievers分析仪
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