Question

一道高三选修题 设函数f(x)=|x+1|+|2x-1| 若对任意 x属于(-∞,0] ，f(x)≤ax+b恒成立，求a-b的最大值 谢谢

Answer 1

f(x)是分段函数 当 x ≤ -1时，f(x) = -3x; 当 -1 < x ≤ 0时，f(x) = 2 - x;
要使 a - b取得最大值， 我们应当尽量使a越大越好 b越小越好。
当 x ≤ -1时，应有-3x ≤ ax + b ，即 (a+3)x ≥ -b 恒成立。 这只可能在 a + 3 ≤ 0且 b ≥ 0时成立。
当-1 < x ≤ 0时，应有 2 - x ≤ ax + b，即(a + 1)x ≥ 2 - b恒成立。注意到已经有a ≤ -3，b ≥ 0,的限定条件，所以这只可能在 b ≥ 2时恒成立。
综上， a ≤ -3 ，b ≥ 2 故 (a-b)max = -3 -2 = -5

其实解释起来麻烦，把f(x)图像画出来就很直观了

Answer 2

结合函数图象，比较直线y=ax+b与y=-3x的斜率及y=2-x在y轴上的截距，
当且仅当
a≤-3b≥2​
时，不等式f（x）≤ax+b在x∈（-∞，0]上恒成立．
∴a-b≤-5，即a-b的最大值为：-5．

Answer 3

解：对任意 x属于(-∞,0] ，f(x)≤ax+b恒成立
∴f(-1)≤－a+b
即|-1+1|+|2×（-1）-1|=3≤－a+b
∴-（-a+b）=a-b≤-3
∴a-b的最大值为-3

Answer 4

当x<-1时，f（x）=-1-x+1-2x=-3x≤ax+b恒成立，则：
-（3+a）x≤b，要使式子恒成立，则-3-a≥0，a≤-3，b≥0，即可；
当0＞x≥-1时，f（x）=x+1+1-2x=2-x≤ax+b恒成立，因为2＜2-x≤3，故：3≤ax+b，3-b≤ax，要使恒成立，a≤0，3-b≤0，b≥3；
故，a≤-3，b≥3时，x属于(-∞,0] ，f(x)≤ax+b恒成立，a-b≤-3-3=-6