Question

已知α,β为锐角。sin²α+sin²β=sin(α+β) 求证α+β=π/2

Answer 1

证明：因为 (sin α)^2 +(sin β)^2 =sin (α +β)
=sin α cos β +cos α sin β,
所以 sin α (sin α -cos β) +sin β (sin β -cos α) =0. (*)
又因为 α, β 为锐角,
所以 sin α >0, sin β >0.

(1) 假设 α+β >π/2,
则 α >π/2 -β,
β >π/2 -α.
又因为 α, β, π/2 -α, π/2 -β 为锐角,
所以 sin α >sin (π/2 -β) =cos β,
sin β >sin (π/2 -α) =cos α.
所以 sin α -cos β >0,
sin β -cos α >0.
所以 sin α (sin α -cos β) +sin β (sin β -cos α) >0.
与 (*) 矛盾.
所以 假设不成立,
即 α+β ≤π/2.

(2) 假设 α+β <π/2,
则 α <π/2 -β,
β <π/2 -α.
所以 sin α <sin (π/2 -β) =cos β,
sin β <sin (π/2 -α) =cos α.
所以 sin α -cos β <0,
sin β -cos α <0.
所以 sin α (sin α -cos β) +sin β (sin β -cos α) <0.
与 (*) 矛盾.
所以 假设不成立,

综上, α+β =π/2.

= = = = = = = = =
这题利用一个结论：
设 A,B 是锐角.
(1) 若 sin A >cos B, 则 sin B >cos A.
(2) 若 sin A <cos B, 则 sin B <cos A.
(3) 若 sin A =cos B, 则 sin B =cos A.
即 sin A -cos B 与 sin B -cos A 同号.