Question

如图,AB是圆O的直径,CB是圆O的弦,D是弧AC的中点,过D点作直线与BC垂直,交BC延长线于E点,且BA交延长线于F点

如图,AB是圆O的直径,CB是圆O的弦,D是弧AC的中点,过D点作直线与BC垂直,交BC延长线于E点,且BA交延长线于F点
(1)求证:EF是圆O的切线
(2)若tanB=(根号7)/3, BE=6,求圆O的半径

Answer 1

1）因为D是圆弧AC的中点，所以AC垂直于DO；
因为AB是直径，且C是圆上一点，所以三角形ACB是直角三角形，角ACB=90°，所以AC垂直于BC；
所以DO//BC；
因为DE垂直于BC，所以DE垂直于DO，所以EF是圆的切线。

2）tanB=EF:BE=(根号7)/3, BE=6，所以EF=2根号7；
所以BF=根号(BE^2+EF^2)=根号64=8
设圆的半径=r，所以有DO=AO=BO=r
根据三角形相似原理，有DO:BE=FO:OB
其中FO=BF-BO
即r:6= 8-r:r
解得 r= 根号57 -3 (负数解r=-根号57 -3舍去)

追问

答案是24/7

追答

不好意思，最后一步错了
根据三角形相似原理，有DO:BE=FO:FB
其中FO=BF-BO
即r:6= 8-r:8
即8r=48-6r
r=48/14=24/7

Answer 2

1）因为D是圆弧AC的中点，所以AC垂直于DO；
因为AB是直径，且C是圆上一点，所以三角形ACB是直角三角形，角ACB=90°，所以AC垂直于BC；
所以DO//BC；
因为DE垂直于BC，所以DE垂直于DO，所以EF是圆的切线。

2）tanB=EF:BE=(根号7)/3, BE=6，所以EF=2根号7；
所以BF=根号(BE^2+EF^2)=根号64=8
设圆的半径=r，所以有DO=AO=BO=r
根据三角形相似原理，有DO:BE=FO:OB
其中FO=BF-BO
即r:6= 8-r:8
得 r=24/7