Question

一道初二数学题，求解

是否存在这样的直角三角形，它的两直角边长为整数且周长与面积相等?若存在，求出它的直角边长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

设该直角三角形的两条直角边边长分别为x，y，得：

( (xy/2) - (x+y) )^2 = x^2+y^2

(x^2×y^2÷4) - xy(x+y) + (x+y)^2 = x^2 + y^2 (完全平方公式)

(x^2×y^2÷4) - xy(x+y) + x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + y^2 (完全平方公式)

(x^2×y^2÷4) - xy(x+y) + 2xy = 0 (移项)

x^2×y^2 - 4xy(x+y) + 8xy = 0 (方程左右两边同时乘以4)

xy - 4(x+y) + 8 = 0 (方程左右两边同时除以xy)

xy - 4(x+y) + 16 = 8 (方程左右两边同时加上8)

(x-4) × (y-4) = 8 (十字相乘法)

若要使x，y都为正整数，则 (x-4) 和 (y-4) 都必须为正整数，

又因为8=1×8=2×4，所以 (1) x=1+4=5，y=8+4=12；

(2) x=2+4=6，y=4+4=8.

Answer 2

解这个直角三角形的三条边分别是：a,b,根号(a^2+b^2)
由题意可以知道，1/2ab=a+b+根号(a^2+b^2).

即：根号(a^2+b^2)=1/2ab-(a+b),将其两边平方得，

a^2+b^2=1/4a^2b^2-ab(a+b)+a^2+b^2+2ab

1/4a^2b^2-ab(a+b)+2ab=0

ab(1/4ab-a-b+2)=0,因为ab≠0，

所以，1/4ab-a-b+2=0

ab-4a-4b+8=0
a(b-4)=4b-8

a=(4b-8)/(b-4)=(4b-16+8)/(b-4)=4+8/(b-4)

因为三角形的三边都是整数，而8有四个约数：1，2，4，8，所以，b的取值有四种情况。即：5，6，8，12。下面分别讨论：

1、b=5,a=12,此时，斜边是13，面积是1/2*5*12=30，周长是：5+12+13=30，符合要求。

2、b=6,a=8,斜边是10，面积与周长都是24。

3、b=8，a=6，这与上面2中的情况实质是一样的。

4、b=12,a=5,这与1中的情况又完全相同。

综上所述，符全要求的三角形有两种情况。

三边分别是：
5，12，13；
6，8，10。

Answer 3

8、6;5、12. 设两边为a、b，根据周长等于面积得出a+b-1/4ab=2，推出b=4-（8/（4-a）），因两边为正整数，可试出答案