Question

函数f（x）=3x-x³在区间（a²-12，a）上有最小值，则实数a的取值范围

Answer 1

一、首先，由区域大小决定 a>a^2-12，求得 -5/2<a<9/2
二、根据函数的性质，求根与极小值。
令 f(x)=0，求得，x1=-√3，x2=0，x3==√3
再令f'(x)=0，求得，x4=-1,x5=1
显然，x4=-1为函数f(x)的极小值，此值必在[-√3，0]之间，于是，有
a>-1 及 a^2-12<-1 求得 -1<a<√11
综合一、二，有 -1<a<√11

追问

但是答案写着（-1,2]啊？

追答

应该是 -1<a<√11 。
因为这个区间包含了 （-1,2] 。
其实(-1,0)的区间也适合，(-1,-05)，等等，都适合，但它门仍然含在区间 -1<a<√11 中 。

所以，我想，应该是求a的较大区间吧。即-1<a<√11 是最大的区间了。
如a=-2或√12 ，就不能满足要求了。

Answer 2

f（x）=3x-x³开区间（a²-12，a）上有最小值，所以一定在此开区间内有极小值，又此函数的导数为3-3x^2,驻点为1和-1，二阶导函数为-6x得此函数在-1取得极小值，所以-1在此区间内，即a>-1,且a²-12<-1解出-1<a<11开方（根号11）

Answer 3

解：由题 f'（x）=3-3x2，
令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值
∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜根号11
又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2
综上知a∈（-1，2]