Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0）的离心率为√2/2，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左右顶点，

点M为椭圆的上顶点，且满足向量MF乘以向量FB=√2-1，(1)求椭圆C的方程
(2)是否存在直线L 当直线L交椭圆与PQ两点时 使点F恰为△PQM的垂心？ 若存在，求出直线方程

Answer 1

(1)
e=c/a=根号2/2
a^2=2c^2
m(0,b) f(c,0) b(a,0)
mf=(c,-b)
fb=(a-c,0)
mf.fb=ca-c^2=√2-1
c=1
a^2=2
c^2=a^2-b^2=1
b^2=1

故椭圆的方程为 x^2/2+y^2=1

（2）
假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，
则设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，故kPQ＝1，
于是设直线l为y＝x＋m，由
y=x+m
x^2+2y^2=2
得3x^2＋4mx＋2m2－2＝0.
∴MP→•FQ→＝0＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)，
由yi＝xi＋m(i＝1,2)得x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2
－m＝0，
由一元二次方程根与系数的关系得
2•2m2－23－4m3(m－1)＋m2－m＝0.
解得m＝－43或m＝1，经检验只有m＝－43符合条件，则直线l的方程为y＝x－43.