Question

已知点B(2,1)，A(6,-3)又向量b=（1,3）求①向量b与向量AB的夹角，②向量b在向量AB上的投影

已知点B(2,1)，A(6,-3)又向量b=（1,3）求①向量b与向量AB的夹角，②向量b在向量AB上的投影

（顺便问一下，像夹角、投影的这种题一般怎么求）

Answer 1

① 向量AB = (2-6, 1+3) = (-4, 4)
向量b与向量AB的夹角θ:
cosθ = b • AB / ∣b∣ ∣AB∣
= [1*(-4)+3*4] / [√(1²+3²) * √((-4)²+4²)]
= 1/√5
所以θ约等於63.43°

② 向量b在向量AB上的投影:
∣b∣cosθ = [√(1²+3²) * 1/√5
= √2

若是像这种向量以坐标表示的题目, 可参详以下公式:
(1)夹角公式:cosθ = (x1x2 + y1y2)/ [√(x1²+y1²) * √(x2²+y2²)]
其中, 向量a = (x1, y1), 向量b = (x2, y2), θ为a与b的夹角

(2)投影:a在b上的投影:∣a∣cosθ = ... = (略, 夹角用(1)形式代入去.)

心得: 要求夹角, 要先知道两向量的坐标, 继以求得数量积, 模, 利用公式求之.
要求投影, 因应公式需求, 计算前者向量的模, 它们的夹角.