Question

将Inx(x+1)展开为（x-1）的幂级数，并指出展开式成立的区间？

Answer 1

要将函数Inx(x+1)展开为（x-1）的幂级数，我们可以使用泰勒级数展开。
首先，我们计算函数在x = 1处的各阶导数。
f(x) = Inx(x+1)
f'(x) = (1/x)(x+1) + Inx
= (x+1)/x + Inx
f''(x) = -1/x^2 + 1/x - (x+1)/x^2
= -1/x^2 - 1/x^2 + 1/x
f'''(x) = 2/x^3 + 2/x^3 - 1/x^2
= 4/x^3 - 1/x^2
继续计算更高阶导数。
根据泰勒级数展开，展开式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)/2!)(x - a)^2 + (f'''(a)/3!)(x - a)^3 + ...
在本例中，我们将a设置为1。
f(1) = In1(1+1) = 0
f'(1) = (1+1)/1 + In1 = 2
f''(1) = -1/1^2 - 1/1^2 + 1/1 = -1
f'''(1) = 4/1^3 - 1/1^2 = 3
展开式为：
f(x) = 0 + 2(x - 1) - (1/2!)(x - 1)^2 + (3/3!)(x - 1)^3 + ...
简化得：
f(x) = 2(x - 1) - (1/2)(x - 1)^2 + (1/2)(x - 1)^3 + ...
这个展开式在区间（1 - 1，1 + 1）即(0, 2)上成立。
因此，展开式成立的区间为0 < x < 2。