Question

如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=2√3，点O从C点出发，沿CB以每秒1cm的速度向B点方向运动。

如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=2√3，点O从C点出发，沿CB以每秒1cm的速度向B点方向运动，运动到B点时停止运动。当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与BC边所在直线相交于E、F两点。过E作EG⊥DE交直线AB于点G，连结DG。
（1）求BC的长；
（2）若E不与B重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（3）当点G在线段AB上（不包括端点A、B）时，求四边形ADEG的面积S（cm²）关于O点运动时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒时，S取得最大值？最大值为多少？

Answer 1

解：
（1）Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=2√3
AB：BC：AC＝1:√3:2
BC=√3AB=√3*2√3=6

(2) OC=t,OD=t/2,DE=(√3/2)*t
BE=6-3t/2,GE=2BE=12-3t
△BEG∽△DEG，则GE/DE=√3
或DE/GE=√3
a) (12-3t)=3t/2,24=9t,t=8/3<6
b) t/2=12-3t,7t=24,t=24/7<6
故，t=8/3和t=24/7秒时，△BEG∽△DEG
(3)不难看出三角形GBE、OCD都是一些30度的直角三角形，因此，可以得到
OC=t,OD=OE=t/2,DE=√3t/2
BE=6-3t/2,GE=2BE=12-3t
BG=√3BE=√3(6-3t/2),
CD=√3OD=√3t/2
四边形ADEG面积S=S△ABC-S△BEG-S△CDE
=6√3-BE*BG/2-CE*OD√3/4
=6√3-√3(6-3t/2)(6-3t/2)/2-(6-6+3t/2)(√3t/8)
=6√3-√3/2(6-3t/2)^2-3√3t^2/16
=6√3-9√3/8(4-t)^2-3√3t^2/16
=√3/16*[6*16-18(16-8t+t^2)-3t^2]
=√3/16*(6*16-18*16+18*8t-18t^2-3t^2)
=√3/16*(-12*16+18*8t-21t^2)
=-3√3/16*(7t^2-48t+64)
=-21√3/16*(t^2-48t/7+64/7)
=-21√3/16*(t^2-48t/7+64/7)
=-21√3/16*(t^2-48t/7+24^2/7^2-24^2/7^2+64/7)
=-21√3/16*[(t-24/7)^2-24^2/7^2+64/7]
=-21√3/16*[(t-24/7)^2+24√3/7
t=24/7秒时，S有最大值，Smax=24√3/7cm^2

此题其实不太难，主要是运算太繁，所以我算了好多遍，也不知道最终答案对不对

Answer 2

kkhj

Answer 3

嫌麻烦 就不多打字了 题目并不难，自己好好想想就O了

Answer 4

解：
（1）Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=2√3
AB：BC：AC＝1:√3:2
BC=√3AB=√3*2√3=6

(2) OC=t,OD=t/2,DE=(√3/2)*t
BE=6-3t/2,GE=2BE=12-3t
△BEG∽△DEG，则GE/DE=√3
或DE/GE=√3
a) (12-3t)=3t/2,24=9t,t=8/3<6
b) t/2=12-3t,7t=24,t=24/7<6
故，t=8/3和t=24/7秒时，△BEG∽△DEG
(3)不难看出三角形GBE、OCD都是一些30度的直角三角形，因此，可以得到
OC=t,OD=OE=t/2,DE=√3t/2
BE=6-3t/2,GE=2BE=12-3t
BG=√3BE=√3(6-3t/2),
CD=√3OD=√3t/2
四边形ADEG面积S=S△ABC-S△BEG-S△CDE
=6√3-BE*BG/2-CE*OD√3/4
=6√3-√3(6-3t/2)(6-3t/2)/2-(6-6+3t/2)(√3t/8)
=6√3-√3/2(6-3t/2)^2-3√3t^2/16
=6√3-9√3/8(4-t)^2-3√3t^2/16
=√3/16*[6*16-18(16-8t+t^2)-3t^2]
=√3/16*(6*16-18*16+18*8t-18t^2-3t^2)
=√3/16*(-12*16+18*8t-21t^2)
=-3√3/16*(7t^2-48t+64)
=-21√3/16*(t^2-48t/7+64/7)
=-21√3/16*(t^2-48t/7+64/7)
=-21√3/16*(t^2-48t/7+24^2/7^2-24^2/7^2+64/7)
=-21√3/16*[(t-24/7)^2-24^2/7^2+64/7]
=-21√3/16*[(t-24/7)^2+24√3/7
t=24/7秒时，S有最大值，Smax=24√3/7cm^