Question

已知x^2-2ax+2>0对x∈【1,2】恒成立,求a的取值范围

Answer 1

解：若令f(x)=x^2-2ax+2，则该关于x的开口向上的一元二次函数的对称轴为x=a，⊿=4a^2-8
（1）根据一元二次函数的图像及其性质可知，若⊿=4a^2-8<0，f(x)=0这个方程无实根，函数图像位于x轴上方，显然，对于x∈R，函数值f(x)>0，已知不等式自然恒成立，
解得-2^(1/2)<a<2^(1/2)（正负根2的开区间）
（2）当x=a<1时，若已知恒成立，则必有f(1)>0恒成立方可，解得a<1.5,
故此时，即a<1时，已知成立，符合题意。
原因解析：当对称轴x=a<1时，x∈【1,2】位于该二次函数的单调递增区间上，在x∈【1,2】这个区间上，f(x)的最小值为f(1)，显然，若f(1)>0成立(最小值都为正数了，较大值自然为正)，则根据函数单调性可知，x∈【1,2】原不等式自然恒成立。
（3）当x=a>2时，若已知恒成立，则必有f(2)>0恒成立方可，解得a<1.5,，此时无解。
综上所述，求得a<2^(1/2) (根号下2)